ESTADISTICA

La estadística es una ciencia formal que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos de una muestra representativa, ya sea para ayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional.

MATERIA: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA DINÁMICA
UNIDAD 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTCA DINÁMICA1.1. Introducción a la Estadística

3.1.                      Introducción a la probabilidad

3.1.1.                 Definición de probabilidad

APLICACIONES DE LA ESTADISTICA

Probabilidad y estadística es una de las tantas áreas interesantes de las matemáticas. Se puede catalogar dentro de las matemáticas aplicadas, de allí la posibilidad de nombrar sus aplicaciones:

1-Teoría de probabilidades: se emplean en los casinos en los juegos, ya que tienen mucho que ver con el "azar"

2-Estadística: tiene una aplicación importante en el análisis del crecimiento demográfico de un país, por ejemplo, o para hacer estudios de mortalidad y morbilidad.
Ciencias del cómputo: Diseño de software que permita resolver problemas complejos de la sociedad.
3- Estudio de fenómenos físicos o químicos. La estadística se emplea mucho en Termodinámica, una rama de la Física que estudia el calor y su comportamiento.

4- También se aplica a todo lo que tiene que ver con comercio, productividad, fiabilidad de un producto, etc.

5-En la mecánica cuántica también se usa mucho, ya que sólo puede ser descrita actualmente a través de distribuciones de probabilidad, lo que le da una gran importancia a las descripciones probabilísticas.

6- En la investigación biomédica, en muestreo en estadística.

La Estadística se puede involucrar en trabajos de científicos, ingenieros y economistas, la probabilidad y estadística está todo el tiempo, ya sea describiendo el comportamiento de un fenómeno, estudiar la calidad de un producto o las ganancias obtenidas.

Definimos conceptos fundamentales: población, muestra y variable.

Población. Es el conjunto de todos los elementos que presentan una característica común determinada, observable y medible. Por ejemplo, si el elemento es una persona, se puede estudiar las características edad, peso, nacionalidad, sexo, etc. Los elementos que integran una población pueden corresponder a personas, objetos o grupos (por ejemplo, familias, fábricas, empresas, etc).Las características de la población se resumen en valores llamados parámetros.

Muestra. La mayoría de los estudios estadísticos, se realizan no sobre la población, sino sobre un subconjunto o una parte de ella, llamado muestra, partiendo del supuesto de que este subconjunto presenta el mismo comportamiento y

Características que la población. En general el tamaño de la muestra es mucho menor al tamaño de la población. Los valores o índices que se concluyen de una muestra se llaman estadígrafos y estos mediante métodos inferenciales o probabilísticos, se aproximan a los parámetros poblacionales.

Variable. Se llama variable a una característica que se observa en una población o muestra, y a la cual se desea estudiar. La variable puede tomar diferentes valores dependiendo de cada individuo. Una variable se puede clasificar de la siguiente manera.ContinuaCuantitativaDiscretaVariableNominalCualitativaOrdinal

a) Variable cuantitativa: es aquella que toma valores numéricos. Dentro de ella, se subdividen en: Continua: son valores reales. Pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo. Ej. Peso, estatura, sueldos. Discreta: toma valores enteros. Ej. N° de hijos de una familia, n° de alumnos de un curso.

b) Variable cualitativa: es aquella que describe cualidades. No son numéricas y se subdividen en: Nominal: son cualidades sin orden. Ej. Estado civil, preferencia por una marca, sexo, lugar de residencia.

CONCEPTOS BASICOS ESTADISTICA

La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso o evento) cuando se realiza un experimento aleatorio.

Para calcular la probabilidad de un evento se toma en cuenta todos los casos posibles de ocurrencia del mismo; es decir, de cuántas formas puede ocurrir determinada situación.

Los casos favorables de ocurrencia de un evento serán los que cumplan con la condición que estamos buscando.

La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):

El valor cero corresponde al suceso imposible; ejemplo: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero.

El valor uno corresponde al suceso seguro, ejemplo: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).

El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar.

Métodos de medición de Probabilidad

Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.

Ejemplos:

a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable (f) es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles (n) son seis (puede salir cualquier número del uno al seis).

Por lo tanto:

 (o lo que es lo mismo, 16,6%)

b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables (f) son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles (n) siguen siendo seis.

Por lo tanto:

  (o lo que es lo mismo, 50%)

c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (f) (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles.

Por lo tanto:
 (o lo que es lo mismo, 66,6%)

d) Probabilidad de ganarse el premio mayor de una lotería en la que juegan 100.000 númerosnos: tan sólo un caso favorable (f), el número que jugamos, frente a los 100.000 casos posibles (n).

Por lo tanto:

 (o lo que es lo mismo, 0,001%)

d) Probabilidad al lanzar una moneda, con un águila en una cara y un sol en la otra. Hay dos casos posibles (n) de ocurrencia (o cae águila o cae sol) y sólo un caso favorable (f) de que pueda caer águila (pues sólo hay un águila en la moneda).

Por lo tanto:

(o, lo que es lo mismo, 50 %)

Existe una probabilidad del 50% de obtener un águila al tirar una moneda.

e) Probabilidad de elegir tal o cual fruta. Si en una canasta hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?

Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles (n). Para calcular la probabilidad de sacar una manzana los casos favorables (f) son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas.

Por lo tanto:

 (o, lo que es lo mismo, 33,3 %)

 (o, lo que es lo mismo, 66,7 %)

Fíjate bien que 33,3% + 66,7% es igual al 100% porque siempre que saquemos algo de la canasta es seguro que será una fruta.

Condiciones importantes

Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos:

a) El número de resultados posibles (sucesoso eventos) tiene que ser finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables dividido por casos posibles" el cociente siempre sería cero.

b) Todos los sucesos o eventos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podríamos aplicar esta regla.

A la regla de Laplace también se le denomina "probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades.

Cuando se realiza un experimento aleatorio un número muy elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles sucesos empiezan a converger hacia valores determinados, que son sus respectivas probabilidades.

Ejemplo:

si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara", quiere decir que el suceso "cara" ha aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%.

Si lanzo diez veces la moneda al aire, es posible que el suceso "cara" salga 7 veces y el suceso "cruz" las 3 restantes. En este caso, la probabilidad del suceso "cara" ya no sería del 100%, sino que se habría reducido al 70%.

Si repito este experimento un número elevado de veces, lo normal es que las probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% será la probabilidad de estos sucesos según el modelo frecuentista.

Las probabilidades constituyen una rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadistica

La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes contribuciones a su desarrollo.

La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por ejemplo saber cuántas veces se han de lanzar un par de dados para que la probabilidad de que salga seis sea el 50 por ciento.

La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1, ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1 que el resultado ocurrirá siempre. Los problemas más sencillos estudian la probabilidad de un suceso favorable en un experimento o acontecimiento con un número finito de resultados, todos ellos con igual probabilidad de ocurrir.

Si un experimento tiene n posibles resultados, y f de ellos se consideran favorables, la probabilidad de un suceso favorable es f/n. Por ejemplo, un dado no trucado se puede lanzar de seis formas posibles, por tanto, la probabilidad de que salga un 5 ó un 6 es 2/6.

Problemas más complicados estudian acontecimientos en que los distintos resultados tienen distintas probabilidades de ocurrir. Por ejemplo, encontrar la probabilidad de que salga 5 ó 6 al lanzar un par de dados: los distintos resultados (2, 3,…12) tienen distintas probabilidades. Algunos experimentos pueden incluso tener un número infinito de posibles resultados, como la probabilidad de que una cuerda de circunferencia dibujada aleatoriamente sea de longitud mayor que el radio.

Los problemas que estudian experimentos repetitivos relacionan la probabilidad y la estadística. Algunos ejemplos: encontrar la probabilidad de obtener 5 veces un 3 y al menos 4 veces un 6 al lanzar un dado, sin hacer trampas, 50 veces; si una persona lanza una moneda al aire y da un paso hacia delante si sale cara y un paso hacia atrás si sale cruz, calcular la probabilidad de que, después de 50 pasos, la persona esté a menos de 10 pasos del origen.

El uso más generalizado de la probabilidad es su utilización en el análisis estadístico. Por ejemplo, la probabilidad de sacar 7 al lanzar dos dados es 1/6, lo que significa (se interpreta como) que al lanzar dos dados aleatoriamente y sin hacer trampas, un gran número de veces, alrededor de un sexto de los lanzamientos darán 7.

La probabilidad matemática se utiliza mucho en las ciencias físicas, biológicas y sociales, así como en el comercio y la industria. Se aplica a muchas áreas tan dispares como la genética, la mecánica cuántica y los seguros. También estudia problemas matemáticos teóricos de gran importancia y dificultad y está bastante relacionada con la teoría del análisis matemático, que se desarrolló a partir del cálculo.

Un gráfico permite visualizar datos complejos.

Formas de recopilar, organizar, procesar e interpretar datos en tablas y gráficos

Recopilar y procesar datos se ha convertido en una necesidad imperiosa en la actualidad. Conocerlos e interpretarlos le permite al hombre de hoy descubrir, prevenir, informar o predecir el comportamiento de diferentes sucesos o fenómenos propios de la naturaleza, del entorno social o incluso del pensamiento.

En cualquier caso, disponer en una tabla los datos obtenidos nos facilitará su interpretación y su representación gráfica.

¿Cómo recopilar los datos?

Hay varias formas: puede ser mediante la observación, mediante entrevistas, haciendo encuestas o consultando documentos.

Etapas para la recopilación y procesamiento de la información

Independientemente del sistema que usemos para recopilar datos, debemos seguir un esquema o pauta de trabajo que involucre:

Definición del problema:

Definir el fenómeno o proceso que queremos investigar. Por ejemplo, queremos saber cuántas personas conforman la familia de cada estudiante de secundaria en una cierta región del país.

Planificación:

Determinar cómo se van a obtener los datos y seleccionar la muestra dentro de la población.

En el caso de nuestro ejemplo, hacer una encuesta a todos los alumnos de las secundarias de la región sería una forma de encontrar los datos que nos piden (número de personas en la familia) pero requeriría mucho tiempo y sería algo costoso.

Por tal razón se puede seleccionar de forma adecuada una muestra y a ellos se les aplica la encuesta.

El total de alumnos de todas las escuelas secundarias de la región constituye la población.

Gráfico estadístico circular.

La población es el conjunto fuente para conseguir la información requerida.

La muestra es el subconjunto finito de la población. Debe ser representativa de la característica que se desea estudiar.

Generalmente, el trabajo con muestras es más económico y más práctico, pero en el caso de los censos de Población y Vivienda es necesario trabajar con toda la población.

Recopilación datos:

Ejecución en terreno, se aplican las encuestas o las entrevistas para obtener los datos solicitados.

En el ejemplo, se pregunta a cada integrante de la muestra ¿Cuántas personas conforman su núcleo familiar?

 Procesamiento de la información:

Esta fase consta de tres partes.

Organización de los datos: Se ordena la información

Presentación de los datos: Puede hacerse mediante tablas o gráficos.

Análisis e interpretación de los datos: Esdonde se llega a conclusiones sobre la investigación y con los resultados se pueden realizar pronósticos, hacer valoraciones y tomar decisiones.

Construcción de Tablas de valores

Dependiendo de la modalidad de trabajo, el conjunto de datos recopilados podemos tenerlos como una expresión verbal, como una fórmula o una ecuación.

Veamos un ejemplo de como construir una tabla de doble entrada cuando obtenemos los datos de forma verbal o mediante una ecuación.

Datos en forma verbal:

El club deportivo de mi ciudad cuenta con 2.000 socios. De ellos 200 practican natación, 350 practican fútbol, 150 practican voleibol, 400 practican baloncesto, 300 practican atletismo, 100 practican tenis, 240 practican
balonmano y 260 practican gimnasia.

Para este primer ejemplo prepararemos una tabla en sentido vertical, tal como la que vemos:

Datos en forma de ecuación:

Lo que debemos pagar (importe) por una determinada cantidad de bebidas gaseosas lo obtenemos según la fórmula:

Importe = 0,75 · nº de gaseosas

Construyamos una tabla que nos muestre los valores si se compran desde 1 hasta 12 gaseosas:

En las celdas de la primera fila aparece el número de gaseosas que se comprar (desde 1 hasta 12).

En las celdas de la segunda fila aparecen los valores correspondientes al número de gaseosas, calculados a partir de la ecuación dada en el enunciado.

Otro ejemplo:

Si el precio de un viaje en taxi lo calculamos mediante la ecuación (en $) = 220 • distancia (en km) + 1,5 constuir una tabla para recorridos de 2, 3, 5, 7, 8, 10, 12  y 13 km.

La tabla quedará así:

Construcción de gráficos (o gráficas)

Se denomina gráfica o gráfico la representación de datos, generalmente numéricos, mediante líneas, vectores, superficies, colores o símbolos, que muestran visualmente la relación que guardan entre sí. También puede ser un conjunto de puntos, que se plasman en coordenadas cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de un fenómeno.

Los medios de comunicación nos ofrecen constantemente noticias ilustradas con gráficas.

Una gráfica, entonces, permite representar la relación existente entre una lista de elementos (como temperatura, tiempo, espacio, etc.) y sus valores numéricos correspondientes.

Asi, podemos decir que las gráficas tienen como función fundamental representar visualmente, en forma clara e intuitiva, una serie de datos que aportan gran cantidad de información.

Según su construcción, podemos distinguir dos tipos de gráficas: Gráficas cartesianas y Graficas estadísticas

Construcción de gráficas cartesianas

Si lo que queremos es mostrar la relación entre dos variables, podemos hacerlo mediante una gráfica cartesiana.

Las variables que se presentan en el eje horizontal o eje x (abscisas) en una gráfica cartesiana se llaman variable independiente y las que se representan en el eje vertical o eje y (ordenadas), se llaman variable dependiente.

Aquí debemos anotar que en una gráfica cartesiana no tienen por qué coincidir las unidades de medida de los dos ejes, sino que los datos se acomodan a su propia escala.

Los datos para construir una gráfica cartesiana pueden provenir de texto, o pueden obtenerse a partir de tablas o a partir de fórmulas.

a) Construcción de gráficas cartesianas a partir de textos.

Ejemplo:

El precio del cobre ha subido en forma sostenida desde 2004, como se aprecia en el gráfico de la izquierda.

Por lo general, en estos casos no importa mucho el valor exacto de los puntos, sino el dibujo, que indica la forma global de la gráfica y el comportamiento de las variables.

b) Construcción de gráficas cartesianas a partir de tablas

A veces resulta muy clarificador que los datos recogidos en una tabla se representen gráficamente sobre unos ejes de coordenadas.

Veamos cómo representar gráficamente los datos de la siguiente tabla de valores:

Ahora dibujaremos un sistema de ejes coordenados (figura a la derecha) sobre el que representaremos los datos, marcando los valores correspondientes tanto en el eje de abscisas (X) como en el eje de ordenadas (Y):

En nuestra gráfica hemos unido, mediante segmentos, cada par de puntos consecutivos, aunque no siempre se deberán unir.

Siempre que se puedan unir los puntos mediante segmentos diremos que la gráfica es continua, y cuando no sea posible hacerlo, diremos que la gráfica es discontinua.

Veamos un ejemplo de gráfica discontinua:

Tenemos una tabla que nos muestra el tiempo (en horas) que emplean 15 atletas en completar un recorrido:

La tabla entrega estos datos:

La gráfica resultante, a partir de esta tabla sería esta (gráfica a la derecha):

Esta es una gráfica discontinua ya que no podemos unir los puntos mediante segmentos debido a que no es posible considerar un valor intermedio para los atletas: nunca habrá 0,5 o 1,5 atletas.

Veamos ahora un ejemplo de gráfica continua

Tenemos un tabla que nos muestra los kilómetros recorridos por un ciclista en el transcurso de 5 horas:

La gráfica resultante a partir de esta tabla será (gráfica a la derecha) :

Esta es una gráfica continua ya que podemos unir los puntos mediante segmentos debido a que es posible considerar un valor intermedio para el tiempo, ya que a las 2,5 y a las 3,5 horas también podemos anotar los kilómetros recorridos.

c) Construcción de gráficas a partir de fórmulas

En algunos casos la información recopilada o entregda llega por medio de fórmulas o reglas que nos permiten relacionar variables distintas y así elaborar tablas de valores, las cuales podemos transformar en gráficas.

Veamos un ejemplo:

El costo (valor o importe) de un litro de gasolina (nafta o bencina) es 1,2 dólar ( 1,2 US$). Sabido esto, elaborar la gráfica que relacione ese precio unitario con la cantidad de litros que se compren:

Primero, hacemos una tabla  para saber el costo de 1, 2, 3, 4, 5 y 6 litros:

Trasladamos los datos a una gráfica, que sería (gráfica a la derecha):

Tipos de Gráficas estadísticas

Hasta aquí hemos visto solo gráficas cartesianas, construidas sobre la base de un plano cartesiano

Existen otras formas gráficas de representar datos, que son las siguientes:

a) Gráfico de barras:

Es un gráfico estadístico que está formado por varios rectángulos igualmente espaciados, del mismo ancho, cuyas bases están colocadas sobre una misma línea horizontal.

A los rectángulos que forman el gráfico de barras se les llama barras.

En este tipo de gráfico, es posible observar que las barras:

1.- Están sobre el eje de las abscisas.

2.- Tienen el mismo ancho.

3.- Están igualmente espaciadas.

 En el eje de las abscisas se representan los valores de una de las variables (eje x) y en el eje de las ordenadas se representa la otra variable (eje y).

Se usa generalmente cuando se pretende resaltar la representación de porcentajes de datos que componen un total.

Tabla temperatura por día

b) Gráfico lineal o de segmentos:

Se usa especialmente para representar datos numéricos de situaciones que ocurren en períodos sucesivos. Además permite visualizar rápidamente una situación determinada.       

En el ejemplo (tabla a la izquierda), los datos numéricos corresponden a las temperaturas máximas registradas durante una semana del mes de octubre; estos datos son números que se obtuvieron en forma sucesiva, día tras día.

En el gráfico lineal de la derecha (construido a partir de la tabla de valores anterior) se puede visualizar fácil y rápidamente que el día miércoles de esa semana se registró la temperatura más alta, y también que el día jueves fue la más baja.

C) diagrama:

Un elemento de la derecha se relaciona con uno de la izquierda.

d) Gráfico circular:

Muestra las relaciones o proporciones de las partes con un todo. Este gráfico (a la derecha) es de utilidad cuando se pretende destacar un elemento importante.

Un gráfico circular siempre se compone de una serie de datos.
 

e) Gráfico de puntos:

El denominado gráfico de puntos permite mostrar apropiadamente a pequeños conjuntos de datos y tiene la gran ventaja de ser fácilmente construido a mano.

En este tipo de gráfico, la abcisa (línea horizontal) representa los valores de la variable estudiada y la ordenada (línea vertical) la frecuencia de aparición de un valor en el conjunto de datos estudiado. 

Para la construcción de un gráfico de puntos, es necesario que el alumno conozca la representación de puntos en una recta graduada.

Por ejemplo, el siguiente gráfico representa una alumna de cuarto medio cuya altura es 162 cm.

Si hubiese que representar otra alumna con esta misma estatura, el gráfico se vería de la siguiente forma:

Ahora, si se quisiera representar una muestra de la estatura de treinta alumnas de cuarto año medio, el gráfico quedaría como sigue.

Se puede ver con facilidad la distribución de los valores observados y describir la información contenida en ellos.

REPRESENTACION GRAFICA UNIDIMENSIONAL

PROBABILIDAD BASICA

MEDIDAS DE POSICION

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIDAS DE DISPERSION